Amor Gignit Amorem Forum
Niet ingelogd [inloggen ]
Ga naar beneden

Printbare versie  
Auteur: onderwerp: Akoestiek proza. Trillingen en golven voor de liefhebber.
dekkersj
Junior Member
**




Posts: 48
Registreerde: 28-10-2012
lid Is Offline


[*] Gepost op 19-12-2012 op 09:45 PM
Akoestiek proza. Trillingen en golven voor de liefhebber.


Hoofdstuk 1 Inleiding
Een belangrijk onderdeel van HiFi is geluid. Toch is het niet altijd duidelijk hoe "geluid" precies in elkaar zit of moet er weer in de boeken gedoken worden om fundamentele zaken op te zoeken. Hoe zat dat ook alweer met die trillingen of hoe moet ik mij geluidsintensiteit voorstellen? Wat is het verschil tussen een lopende en een staande golf en hoe was dat ook alweer met de druk en uitwijking van die golven? Allemaal vragen waar in deze draad (en in deze post in het bijzonder!) een antwoord op zal komen. Niet allemaal tegelijk en iedereen is bij deze uitgenodigd om bij te dragen. Ook de invloed van scheidingfilters op de akoestische output van luidsprekers zal aan bod komen. In eerste instantie zal er geprobeerd worden om uit te gaan van elementaire natuurkunde zodat het laagdrempelig blijft.

Hoofdstuk 2 Transversale en longitudinale trillingen
Bij de voortplanting van trillingen onderscheidt men 2 principes:
* transversale voortplanting, hierbij staat de richting van voortplanting loodrecht op de trillingsrichting
* longitudinale voortplanting, hierbij is de richting van de voortplanting in lijn met de trillingsrichting.

Een goed voorbeeld van een transversale trilling is het gevolg wat een steentje dat naar beneden valt en in het water terechtkomt teweegbrengt. Er zullen zich kringetjes vormen en die kringetjes zullen steeds groter in diameter worden. Met andere woorden, het steentje valt van boven naar beneden en de golf plant zich in het platte vlak voort.

Beide principes van voortplanting kunnen voorkomen in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen met 1 uitzondering: in gassen kunnen alleen longitudinale voortplanting voorkomen. Een illustratie van een longitudinale golf is de geluidsgolf [2]:



Hier is duidelijk te zien dat er verdikkingen en verdunningen ontstaan en dat dat in de richting van de voortplanting is: longitudinaal dus. De zwarte puntjes in het bovenste plaatje stellen de luchtmoleculen voor. Als de zuiger zou stilstaan, zijn er geen verdikkingen en verdunningen en is de druk overal gelijk aan de evenwichtsdruk (=p_atmosfeer). Worden er luchtdeeltjes (moleculen) samengeperst spreekt men van overdruk en als er luchtdeeltjes "uitgerokken" worden, spreekt men van onderdruk. Dit laat het onderste plaatje goed zien: bij "max" is de overdruk te zien en bij "min" is de onderdruk te zien.

Tsja, en daar kun je dan uren naar gaan kijken...Wat overigens opvalt aan de drukgolf is dat ie van links naar rechts "loopt", ofwel het is een lopende golf. Niet te verwarren met een staande golf en daar zal nog uitgebreid op worden teruggekomen. Eerst nog wat meer theorie mbt de lopende golf.

Hoofdstuk 3 Wiskundige voorstelling van een lopende golf
Dit hoofdstuk is een taai stuk voor mensen die weinig tot geen wiskundige achtergrond hebben. Ik zal eea toch zo eenvoudig mogelijk proberen uit te leggen.

Allereerst wil ik een begrip invoeren en dat is de puntbron. Dit is een heel klein geluidsbronnetje wat rondom straalt. Een minuscule bolweergever dus. Het prettige van dit type weergever is dat het relatief eenvoudig complexe berekeningen mogelijk maakt. Het zal gebruikt worden om het gedrag van meerdere puntbronnen gezamenlijk te beschrijven, zoals twee luidsprekerdrivers die op een eindige afstand van elkaar in een baffle gemonteerd zijn. Deze twee drivers zullen elkaar gaan be´nvloeden en uiteindelijk zal de relatie tussen de montage-afstand en wisselfilter duidelijk worden in een polaire figuur. Ook zal het mogelijk zijn om het gedrag van dipolen te bestuderen of zelfs een heel array van luidsprekers kan geanalyseerd worden. Maar zover is het nog niet.

H. 3.1. Een vlakke golf
Voor zover bekend zijn er 3 praktische dimensies: lengte, hoogte en breedte. Wiskundig vertaalt zich dat naar een xyz-vlak en in het algemeen kun je stellen dat lopende golven zich in alle richtingen kunnen verspreiden. Bovendien hangen ze van de tijd af. Wiskundigen zijn meestal luie beestjes en ze kiezen daarom 1 as waarlangs de golf zich voortplant. Omdat het longitudinale golven zijn die we vanaf nu zullen bestuderen, is het mogelijk de voortplantingsrichting gelijk te stellen aan de richting van de luchtdeeltjes. Als we kiezen voor een richting langs de x-as, dan zal er niets te beleven zijn in het yz-vlak. Een dergelijke golf wordt een vlakke golf genoemd. Deze golfvorm karakteriseert zich doordat de functie alleen afhankelijk is van de tijd en van de gekozen richting, in dit geval de x-as. Een dergelijke vlakke golf laat zich beschrijven door de algemene scalaire reŰle golffunctie (G):



Hierin is:
A = de amplitude van de golf
alfa = de absorptiecoefficient van het medium waar de golf doorheen moet (in elektromagnetische toepassing symboliseert deze grootheid het skineffect)
omega = de radiaalfrequentie
t = de tijd
phi = de initiŰle fase op tijdstip t = 0
beta = het golfgetal ofwel:



De reden dat er voor de cosinus is gekozen is het gevolg van conventie. Meestal wordt de term met de absorptiecoefficient verwaarloosd, maar in feite is deze wel aanwezig. Vooral bij grote afstanden gaat deze een rol spelen en daarbij moet je denken aan waarden in de geest van 0,0001 bij 125 Hz tot 0,006 bij 8 kHz.

H. 3.2. Een "bolle" golf
Tot nu toe is alleen een simpele golf ter sprake geweest die vanuit 1 punt begint en naar een ander punt toe "loopt". In de praktijk zal dit natuurlijk niet het geval zijn en zal er sprake zijn van een heleboel golven die vanuit 1 punt beginnen en zich in heel veel richtingen voortplanten. Voor het gemak ga ik uit van 1 oorsprong van waaruit de golven ontstaan en dit is slechts een kleine verandering van de werkelijkheid. Vanuit dit punt zullen de luchtmoleculen aangetikt worden en die geven die tik weer door aan de volgende. Dit doen ze overigens in alle richtingen. Met andere woorden, de puntbeweging zal zich uitbreiden in steeds groter wordende bollen rondom het trillende punt. (Een leuke animatie zou hier op zijn plaats zijn)

Wiskundig is er nu een probleem, want in het eenvoudige xyz-vlak is het niet makkelijk om een dergelijke uitdijende bolle golf te beschrijven. Om eea hanteerbaar te maken, zal er gebruik gemaakt worden van een stelsel uitgedrukt in bolco÷rdinaten [3,4]. Het gaat wat ver om dit stelsel helemaal uit te leggen, maar het komt er op neer dat een punt in de ruimte beschreven wordt als functie van zijn afstand tot de oorsprong en een tweetal hoeken die het punt maakt tov de x- en z-as. En hier komt de invoering van een puntbron en het gebruik van het bolco÷rdinatenstelsel samen. Het vergt wat voorstellingsvermogen en misschien helpt dit plaatje:



In de oorsprong bevindt zich de puntbron en later zullen er 2 zijn die tov de oorsprong zijn verschoven: bron 1 en 2. Die zijn voor nu nog niet van belang. De puntbron zal onafhankelijk van de hoeken (elevatie- en azimuthoek) zijn energie uitstralen en de enige variabele die er is, is de afstand van het punt P tot de puntbron. Dichtbij zal er een grote amplitude bestaan en veraf zal er een kleine amplitude bestaan. En dit voor alle hoeken gelijk. Dus in feite is de bolle golf (heb ik zelf verzonnen) een vlakke golf in bolco÷rdinaten waarbij de richting van voortplanting in de richting van r is gekozen . Waarbij r de vector is die de puntbron met het punt P verbindt. De elementaire golfvorm kan dus herschreven worden naar



Waarbij met het subscript n verwezen wordt naar de opeenvolgende puntbron die in het systeem ingebracht wordt. De amplitude is afhankelijk van tijd en van de afstand van de puntbron tot punt P en dit laatste wordt aangegeven door de | . |-operator. Ofwel de modulus van de vector.

Praktisch gezien moeten bronnen gemonteerd worden en als dit aan de orde is, zal dit in het yz-vlak gebeuren. Het is niet strikt noodzakelijk en ik wil naar een uitgangssituatie waar ik puntbronnen kan plaatsten overal in de ruimte. Vaak wordt in literatuur de keuze gemaakt om ze boven elkaar te plaatsten en ik zal ook aantonen waarom. Het boven elkaar plaatsen van bronnen geschiedt dan in de z-richting en in figuur 2 is dat gedaan met de bronnen 1 en 2.

Zoals gezegd is de afstand van belang van puntbron tot punt P. Het punt P komt in dit geval overeen met de luisterpositie of eigenlijk beter: de positie van 1 punt-meetmicrofoon. In werkelijkheid zullen dit 2 punten moeten worden met een zekere afstand er tussen (twee oren met een hersenpan er tussen), maar voorlopig ga ik uit van 1 ontvangstpunt. De afstand of lengte van de vector bepaal ik dmv vectoriele optelling. De groene hulpvector is daarbij mijn hulpmiddel. D_0 + r_1 = r, waarbij D_0 een soort van offset-vector is die in principe alle waarden mag aannemen. In vectornotatie kunnen we dus schrijven:



Waarmee de grote onbekende vector nu bekend is. Alleen de lengte van deze vector is van belang en dat is de absolute waarde, ofwel



Dit is een onhandelbaar monster en als men de verschuiving beperkt tot de z-as (x_0 en y_0 zijn nul), dan komt de uitdrukking tevoorschijn zoals die in de literatuur voorkomt:



********************************************************
Referenties
1. Natuurkunde voor het technisch hoger onderwijs, ISBN 9011017439
2. ISVR
3. http://nl.wikipedia.org/wiki/Bolco%C3%B6rdinaten
4. Calculus, a complete course, Adams

Groet,
Jacco
Bekijkt gebruikers profiel Bekijk deze gebruiker zijn posts

  Ga naar boven

Powered by XMB
XMB Forum Software © 2001-2012 De XMB Group
[Tekens: 17] [PHP: 55.4% - SQL: 44.6%]